反演平面（inversive plane）

圓上的反演對普通平面做了一件彆扭的事：它把圓心送到無處，而沒有任何點供它落腳。補救之道很優雅——加入一個單一的新點，稱為無窮遠點，讓所有遙遠的方向都同意共用它，並讓反演把圓心送到那裡。普通平面連同這一個額外的點，就是反演平面，是反演與莫比烏斯變換得以完美運作的自然舞台。

具體地說，反演平面是普通平面恰好附加一個無窮遠點——不像射影幾何那樣是一整條無窮遠線，而是單一一點，把平面封閉成拓樸上像球面的東西。在這個舞台上發生兩項愉快的簡化。第一，基本曲線的目錄塌縮了：直線與圓之間不再有種類上的差別，因為直線如今只是一個通過無窮遠點的圓。第二，共形幾何的變換——反演與由它建構的莫比烏斯變換——成為毫無例外的雙射，因為從前逃到無處的那一點如今有了歸宿。把這點變得生動的模型是球極投影：放一個球與平面相切，從它的北極投影；平面的每一點對應到球上一點，而北極本身正是無窮遠點。平面上的直線與圓都對應到球上的圓。

反演平面是共形與莫比烏斯幾何的家園空間，正如射影平面是射影幾何的家園空間——各自藉由添加理想點來完備普通平面，使某類變換得以毫無例外地作用。把它與射影平面分清是要緊的：射影幾何加入一整條無窮遠線，每個方向一點，所以平行線在那裡相交；而反演平面只加入所有方向共用的單一一點，所以它服務於保角映射而非保接合映射。它們是供不同幾何使用的不同完備化；切勿把單一的反演無窮遠點與射影的無窮遠線混為一談。