射影平面（projective plane）

順著一條筆直的長路或一對鐵軌望去：兩條平行的鐵軌彷彿在地平線上某一點交會，儘管在尋常的歐氏幾何中平行線永不相交。射影平面正是幾何學家對這日常錯覺給出的誠實回答。它就是普通平面，恰好補上足夠多的額外點——每個方向一個——使得任何一對直線，無論平行與否，都恰好交於一點。不再有例外，不再有「除非它們剛好平行」。

可以這樣建造它。從熟悉的歐氏平面出發。對每一族平行線（所有斜率相同的直線）添上一個全新的點，稱為無窮遠點，讓它們都約定在此相交。不同斜率得到不同的無窮遠點；這些新點合起來構成一條額外的線，即無窮遠線。其結果——舊平面加上無窮遠線——就是實射影平面，記為 RP^2。在其中，兩相異點恆決定恰好一條線，兩相異線恆交於恰好一點：這兩條基本事實如今完美對稱。還有一個漂亮的具體模型：取尋常的三維空間，讓射影平面的每個「點」對應一條過原點的直線，每條「線」對應一張過原點的平面。一條過原點的直線與繪圖平面 z = 1 交於一個普通點，除非它是水平的——那時它就是某個無窮遠點。

何必如此？因為去掉平行這個例外，能讓定理更簡短、消去數十個特殊情形，並揭示點與線之間一種歐氏幾何所掩藏的深層對稱（對偶）。也該誠實地強調射影平面不是什麼：它沒有距離的概念、沒有角、沒有「介於」、根本沒有平行／不平行的區分——那些屬於建立在它之上的更精細幾何。它只保留投影（影子、透視畫、相機所見）下倖存的東西：哪些點落在哪些線上。這份簡樸正是它的力量。