對偶原理（principle of duality）

讀任何一條平面射影幾何的定理，你會發現它談的是點與線，僅由接合相連。對偶原理是這樣一個令人驚訝的觀察：取一條這樣的真定理，把每個「點」與「線」對調、每個「落在……上」與「通過」對調、每個「兩點的連線」與「兩線的交點」對調，所得的新句子也是一條真定理——它的對偶——而且免費奉送，無須另行證明。買一條定理，白得第二條。

為何行得通？因為射影平面的整套公理系統在點與線之間對稱。兩條主導公理——「兩點決定一線」與「兩線決定一點」——在對調下互相變換，接合方程式 a x + b y + c z = 0 亦然，它對點三元組 (x : y : z) 與線三元組 [a : b : c] 一視同仁。故任何僅由這些構成的推理鏈，都能逐詞謄寫成一條有效的對偶鏈。要套用的字典很短：點變線、線變點、共線（落在公共線上的點）變共點（過公共點的線）、「兩點之連線」變「兩線之交點」，而 p 點 q 線的圖形變成 q 點 p 線的圖形。

對偶不是模糊的類比；它是精確而機械的對應，並大致把這門學科的工作量減半。笛沙格定理的對偶正是它自己的逆定理；「三點共線」的對偶是「三線共點」。兩個誠實的提醒。其一，對偶活在射影平面裡：它倚賴無平行例外的接合公理，故在尋常歐氏幾何中並不乾淨地成立。其二，真陳述的對偶為真，但你畫的某個具體圖形的對偶是另一個圖形——對偶對調的是角色，並非說一個點「就是」一條線。