極點與極線（pole and polar）

一條圓錐曲線不只是靜置於平面——它在點與線之間建立一本完美的字典。它為每個點指派一條特定的線，為每條線指派一個特定的點，且這對應是自己的逆。那個點稱為極點，那條線稱為它的極線，而這極點極線對應是對偶最乾淨的具體實現：圓錐曲線本身把「點」變「線」、再變回來。

對圓錐曲線外一點 P 的作法如下。從 P 畫出兩條與圓錐曲線相切的切線；連接兩個切點的弦就是 P 的極線。對內部一點 P，則改用過 P 的任兩條割線來求極線：每條割線與圓錐曲線交於兩點，在每條割線上，那兩個交點連同 P 決定一個調和共軛點；極線與這些調和共軛相連，而第四調和點的軌跡就是極線。此關係是互逆的（真正的配極）：若 P 的極線通過 Q，則 Q 的極線通過 P——這對稱就是共軛點關係。在座標下它優美地簡單：對具對稱矩陣 S 的圓錐曲線，點 p 的極線是線 S p，而一點落在自己的極線上，恰當它落在圓錐曲線上，此時極線就是那裡的切線。

極點極線對偶之所以重要，在於它賦予對偶一具具體的引擎——它把關於圓錐曲線上的點的定理，轉成關於切線的定理，並且是僅用直尺處理圓錐曲線作圖的恰當工具（調和共軛的機制包辦一切，不需度量）。兩點誠實的說明。其一，整個關係是相對於所選圓錐曲線定義的；在你說明「對哪條圓錐曲線」之前，「P 的極線」毫無意義。其二，圓錐曲線上的點很特殊：其極線恰是該點處的切線，正是 P 處兩條切線合而為一的極限情形。