調和共軛（harmonic conjugate）
在四個點落在一條線上的所有方式中，有一種排列如此均衡而自然，以致它無處不在——出現在正方形的對角線中、在透鏡的光學裡、在透視畫的橫格上。這就是調和排列，而由前三點補出此排列的第四個點，稱為它們的調和共軛。它是射影平面最基本的「特殊位置」，純由接合定義，不需直尺。
從交比出發。共線四點 A、B、C、D 構成調和組，且 D 是 C 對 A、B 的調和共軛，恰當它們的交比 (A, B; C, D) = -1。在幾何上，這唯一的值說 C 與 D「以相同的比內分與外分線段 AB」：若 C 介於 A、B 之間，以比 AC : CB 分割之，則 D 在外側，以同樣數值之比但反號分割 AD : DB。妙處在於：你能僅用直尺由 A、B、C 求出 D，靠的是一個完全四角形：任畫處於一般位置的四點，使其六條邊恰當地通過 A、B、C，則第四個對角點恰好落在 D 上。不量、不用圓規——僅靠接合就釘住了調和共軛。
調和共軛之所以重要，在於 -1 是唯一被每個射影映射保留、且無須座標即可辨認的交比值，故它賦予射影幾何一種完美均衡的概念，用以建造其餘一切，包括圓錐曲線的極點極線關係。兩點誠實的說明。其一，調和共軛以恰當的方式對稱：若 D 是 C 對 A、B 的調和共軛，則 C 是 D 的調和共軛，且兩對 {A, B} 與 {C, D} 的角色可互換。其二，AB 的中點是該方向無窮遠點的調和共軛——這正是「中點」之所以在固定一條無窮遠線之前不是射影概念的射影式看法。
在一條線上設 A = 0、B = 6、C = 2（故 C 以比 AC : CB = 2 : 4 = 1 : 2 內分 AB）。其調和共軛 D 以同比外分 AB：AD : DB = 1 : 2 反號得 D = -6。驗交比：((C - A)(D - B)) / ((C - B)(D - A)) = ((2)(- 12)) / ((-4)(-6)) = -24/24 = -1。
交比恰為 -1：C 與 D 以相同的比內分與外分 AB。
調和共軛僅用直尺即可作出（透過完全四角形），因為值 -1 是純粹射影的。AB 的中點是該方向無窮遠點的調和共軛——故「中點」唯有在挑出一條無窮遠線後才有意義。