平行公設（parallel postulate）
歐幾里得的前四條公設簡短而自明——可在兩點間畫線、可延長之、可畫圓、所有直角相等。第五條明顯不同：冗長、繁複，且一點也不顯然。用歐幾里得的話：若一條線穿過另兩條線，使其一側的兩個內角之和小於兩個直角（小於 180 度），則那兩條線在該側延長得夠遠後，終必相交。兩千年來數學家覺得這其實是偽裝的定理，試圖由其他四條證出它。每次嘗試都失敗——而這失敗竟成了幾何史上最豐碩的失敗。
把這公設讀作相交的條件。想像兩條道路被第三條切過。若一側的角度略少於一直角的 180 度，兩路在該側便朝彼此傾斜，公設保證它們會在那裡相交。其逆否命題是多數人腦中的圖像：若內角和恰為兩直角，兩線永不相交——它們平行。深層內容在「終必」二字，因為交點可以任意地遠，超出任何圖之外，這正是為何此公設無法靠目視檢驗、也為何它不顯然。它做著其他公設做不到的真正工作。
答案由 1820 至 1830 年代的羅巴切夫斯基（Lobachevsky）、波利亞（Bolyai）與高斯（Gauss）得出：第五公設獨立於其他四條——既無法由它們證出，也無法被它們否證。所以它不是隱藏的定理，也不是假的；它是真正的選擇。接受它就得到歐氏（平坦）幾何；替換它就得到一致的非歐幾何，邏輯上同樣健全。誠實的說法是謹慎的那種：平行公設並非被非歐幾何駁倒，而是被揭示為數個一致選項之一，平坦平面只是我們日常直覺所調校到的特例。
一條截線穿過兩條線，在一側作成 88 度與 89 度的內角；其和 177 小於 180。平行公設說那兩條線必在該側某處相交——儘管交點可能在紙緣之外好幾公里。把兩角各提到 90 度與 90 度：和恰為 180，兩線平行，永不相交。
內角和小於 180 度迫使相交；恰為 180 度則平行——但「終必」可能非常遙遠。
常見誤解：非歐幾何「證明了平行公設為假」。它做的恰相反——它證明了該公設獨立，於是含它與不含它的幾何都一致。歐幾里得沒有錯，只是數個選項之一。