獨立性（independence）

一套建構良好的公理系統不該浪費任何東西：每條公理都必須以陳述其他公理無法證出的事來掙得它的位置。一條公理若不是其餘公理的後果，就獨立於它們——你確實需要它，因為拿掉它會讓你的某些定理無法證明。檢查獨立性，是你得知這份假設清單精簡、而非塞滿暗藏重複的方法。全數學最著名的例子就是平行公設，古人疑它多餘，歷經兩千年後卻證實它完全獨立。

你如何證明一條公理無法由其餘公理導出？你不能只是找不到證明——也許只是你不夠聰明。反之，你建一個模型，其中其餘公理全真、而所論的那條公理為假。既然真公理只能證出真結論，這樣的模型存在就顯示那條孤立公理無法由其餘公理推出；若能推出，它在其餘公理成立之處便被迫為真，與你的模型矛盾。要證平行公設獨立，你展示一個結構——例如龐加萊圓盤這個非歐模型——其中接合、順序、全等與連續都成立，卻有某點過它的平行線多於一條。這單一模型解決了一個兩千年的問題。

獨立性是優雅與誠實的品質，不是真理的品質。一條相依的公理並非錯誤，只是多餘：你可以刪掉它，再把它當定理證回來。希爾伯特費心顯示他每一組公理都獨立於其餘，為每一組建造奇特的訂製模型——只違反一條公理、其餘都遵守的幾何。手法始終相同：獨立性靠模型證明，正如一致性一樣，這正是模型成為公理化方法通用工具的原因。