中立幾何（neutral geometry）
想像做幾何時，刻意對那個把歐氏與非歐世界分開的唯一問題不選邊站：過一點有幾條平行線。中立幾何正是這種有紀律的克制。你保留希爾伯特的所有公理——接合、順序、全等、連續——卻對平行隻字不提，既不主張平行公設，也不否定它。在這種懸置判斷的狀態下你能證出的，在每個幾何中——無論平坦或彎曲——都為真。
存活下來的相當多。三角形全等判準（SAS、ASA、SSS、AAS）都是中立定理。等腰三角形定理、外角定理（三角形的外角大於任一不相鄰內角）、垂線的存在以及過線外一點至少有一條平行線、三角不等式——這些都不需平行公設。一個著名的更深結果，薩凱里－勒讓德定理（Saccheri-Legendre theorem）也是中立的：任何三角形的內角和至多 180 度，絕不超過。你在中立框架下無法證的是那句結論——內角和恰等於 180——這一句竟等價於平行公設，所以它坐落在邊界上，只有選邊後才可判定。
中立幾何是理解平行公設究竟添了什麼的試煉場。它精確顯示哪些古典定理是「免費的」（不論如何都真），哪些是由第五公設「付費」買來的。它也釐清那些等價：在中立公理之下，假設「存在一個矩形」「某個三角形內角和為 180」「平行線保持等距」或普萊費爾公理之中任一條，都會給出其餘各條與完整的歐氏幾何。把它們全剝掉，你剩下的就是歐氏與雙曲幾何共同分枝而出的主幹。
在中立幾何中你可以證出三角形的外角大於每個不相鄰內角，以及每個三角形的內角和至多 180 度——兩者都不提平行。但你無法證出和恰為 180；一旦能證出，你就已偷偷假設了平行公設。
所有幾何的共同主幹——在你選定有幾條平行線之前就為真。
「中立」與「絕對」幾何指的是同一回事；現代用「中立」一詞，是因為這幾何不選邊。注意橢圓幾何通常被排除在外，因為它還改動了順序公理，而不只是平行公理。