格什戈林圆盘定理

精确计算特征值代价高昂，但格什戈林定理几乎免费地把它们定位，只需读取矩阵元素。围绕每个对角元 a_{ii} 在复平面上画一个圆盘，其半径是该行其余元素绝对值之和 R_i = sum_{j != i} |a_{ij}|。每个特征值都落在这些圆盘的并集之内。

理由简短而愉快。若 A x = lambda x 且 x 中模最大的分量是 x_i，那么把第 i 个方程除以 x_i 并孤立出来得到 |lambda - a_{ii}| <= sum_{j != i} |a_{ij}| |x_j / x_i| <= R_i。于是 lambda 被困在第 i 个圆盘里。由于 A^T 有相同的特征值，你也可以用列和并取交集得到更紧的牢笼。

一个加强版细化了计数：若一组 k 个圆盘与其余圆盘不相交，则恰有 k 个特征值（含重数）落在该组内。所以分离的圆盘各自恰好容纳一个特征值，这正是你如何证明一个矩阵在原点没有特征值因而可逆的方法。

它是定位工具，不是精度工具。对强对角占优矩阵，圆盘很小，估计极佳；对有大的非对角元的矩阵，圆盘可能合并成一团无用的斑块。用它做快速保证，再用真正的求解器细化。