谱半径（盖尔范德）公式

谱半径 rho(A) 是 A 的特征值绝对值中的最大者：rho(A) = max |lambda_i|。它是决定反复作用 A 会让向量爆炸还是消亡的唯一数字。若 rho(A) < 1，幂 A^k 收缩到零；若 rho(A) > 1，则某个方向无界地增长。

盖尔范德公式纯粹用范数表达这一点：rho(A) = 当 k -> infinity 时 ||A^k||^(1/k) 的极限，且对每一种矩阵范数该极限都相同。所以尽管单个 ||A^k|| 可能误导你，取 k 次方根并取极限会剥离范数的选择和瞬态行为，留下真正的长期增长率。

微妙之处在于 rho 本身不是范数——对非零矩阵它可以为零（任何幂零矩阵的特征值全为零）。永远成立的是：对每个次乘范数都有 rho(A) <= ||A||。特征值住在每个范数球内；盖尔范德说在极限下它们恰好填满它。

凡有幂出现之处此事都重要：诸如 x_{k+1} = M x_k + c 的迭代求解器的稳定性、诺伊曼级数的收敛性，以及动力系统和马尔可夫链的长期行为。实用法则很简单——盯住 rho，而不是一次性的范数。