诱导（算子）范数

诱导范数回答一个物理问题：矩阵 A 最多能把一个向量拉伸多大倍数？为输入和输出选定一个向量范数 ||.||，然后定义 ||A|| = 在 x != 0 上取 ||A x|| / ||x|| 的最大值。由于该比值忽略 x 的长度，你也可以等价地在所有单位向量上取 ||A x|| 的最大值。

每一种向量范数的选择都诱导出一种矩阵范数，其中三种是主力。1-诱导范数是最大绝对列和 max_j sum_i |a_{ij}|。inf-诱导范数是最大绝对行和 max_i sum_j |a_{ij}|。2-诱导范数，即谱范数，是最大奇异值 sigma_max(A)——在几何上是 A 把单位球面映成的椭球的最长轴。

诱导范数自带两份赠礼。它们自动是次乘的，||A B|| <= ||A|| ||B||，因为连续拉伸两次会把拉伸因子相乘。它们也与生成它们的向量范数相容，||A x|| <= ||A|| ||x||，每当你要界定一个变换能把数据移动多远时，就会用到这条不等式。

代价在于计算成本。1-范数与 inf-范数可以从元素中立即读出，但 2-范数需要最大奇异值，那是一个迭代计算。在实践中，当只需快速且有保证的估计时，人们常用 sqrt(||A||_1 ||A||_inf) 来界定谱范数。