矩阵范数

矩阵范数用一个数度量矩阵的大小，正如向量范数度量向量。由于所有 m 行 n 列矩阵本身构成一个向量空间，向量范数的全部公理仍然成立。但矩阵还能相乘，这一额外结构促使我们再要求一条性质。

这条性质就是次乘性：只要乘积有定义，就有 ||A B|| <= ||A|| ||B||。一个既满足全部向量公理又满足此乘积规则的范数，称为（相容的）矩阵范数。它正是让你控制在反复相乘中累积的误差的关键，是数值分析的看家本领。

有两大族占主导。Frobenius 范数 ||A||_F = sqrt(sum_{i,j} |a_{ij}|^2) 只是把矩阵当作一个长向量并取其欧几里得长度；它等于 sqrt(sum sigma_i^2)，即奇异值的平方和再开方。算子（诱导）范数则度量 A 能把向量拉伸多少。两者都是次乘的，但回答不同的问题：Frobenius 是总能量，算子 2-范数是最坏情形的拉伸 sigma_max。

一个值得记住的告诫：并非每个看起来自然的范数都是次乘的。逐元素的极大值范数 max |a_{ij}| 满足向量公理，却可能不满足 ||AB|| <= ||A|| ||B||，所以它是该空间上的范数，但严格意义上不是矩阵范数。务必弄清你实际拥有的是哪种保证。