次乘性

次乘性是把矩阵空间上的一个普通范数变成有用的矩阵范数所需的那一条额外规则。它说乘积的大小绝不超过各因子大小之积：||A B|| <= ||A|| ||B||。先被 A 拉伸再被 B 拉伸可能复合它们的效应，但绝不会超过相乘的程度。

正是这一条不等式让误差分析变得可处理。当误差流经一连串运算、一个幂或一次迭代时，次乘性让你用各部分之积来界定整体。例如 ||A^k|| <= ||A||^k，这正是当 ||A|| < 1 时你证明迭代收敛所需的杠杆。

并非每个矩阵上的范数都具备它。所有诱导（算子）范数天生就是次乘的，因为它们度量拉伸而拉伸会复合。Frobenius 范数也是次乘的，且与欧几里得向量范数相容。但逐元素的极大值范数 max |a_{ij}| 可能违反它，这正是为何它是矩阵空间上的范数却不算作矩阵范数。

次乘性是本领域许多定理背后那个安静的前提：它支撑了界 rho(A) <= ||A||、诺伊曼级数的收敛、把条件数定义为 ||A|| ||A^-1||，以及后向误差经由乘积的传播。每当一个证明把范数相乘时，被援引的就是这条规则。