条件数

条件数告诉你一个问题在任何算法运行之前会把误差放大多少。对于求解 A x = b，它回答：若数据 b 抖动一个很小的相对量，答案 x 的相对抖动最大能有多大？条件数小意味着问题宽容、良态；大则意味着脆弱、病态。

形式上 kappa(A) = ||A|| ||A^-1||，使用所选的范数。在 2-范数下它变为最大奇异值与最小奇异值之比 kappa_2(A) = sigma_max / sigma_min，这让几何变得生动：它就是 A 产生的椭球有多扁。按惯例 kappa(A) >= 1，而正交矩阵达到完美的 kappa_2 = 1。

主导不等式是：x 的相对误差 <= kappa(A) 乘以 b 的相对误差。所以若 kappa(A) = 10^6 而你的数据精确到六位，答案可能一位都不准。接近奇异的矩阵其 sigma_min 接近零，||A^-1|| 爆炸，条件极差。

关键在于：条件是问题的性质，而非你代码的性质。一个完美的、后向稳定的算法仍救不了病态系统——前向误差等于条件数乘以后向误差。正确的应对是重新表述问题（正则化、重新缩放、选取更好的坐标），而不是去追求更多的小数位。