伪谱

伪谱回答单凭特征值无法回答的问题：若矩阵被稍加扰动，特征值能去到哪里？对容差 epsilon，epsilon-伪谱是这样一些复数的集合：它们是与 A 相距不超过 epsilon 的某个矩阵的特征值。对正规矩阵，它只是真谱周围薄薄的 epsilon-环领；但对非正规矩阵，它可以鼓出巨大的范围。

它有三个等价的定义，这也是其魅力的一部分。点 z 属于 epsilon-伪谱，若 (1) z 是某个 ||E|| <= epsilon 的 A + E 的特征值；或 (2) 预解式很大，||(z I - A)^-1|| >= 1/epsilon；或 (3) 最小奇异值 sigma_min(z I - A) <= epsilon。第三个才是你实际计算的：让 z 扫过网格并绘制等高线。

这幅图揭露隐藏的脆弱。一个矩阵可以让其所有特征值舒舒服服地落在单位圆盘内——预示衰减——却有一个伸到圆盘外的肥大伪谱，警告 ||A^k|| 在最终衰减开始之前会激增许多步。特征值描述极限；伪谱描述瞬态。

这是鲍尔-法伊克的几何形式。在特征向量几乎平行之处（大 kappa(V)），预解式在远离谱的地方爆炸，伪谱便蔓延开来。伪谱是处理非正规现象的正确工具：流体流动中的瞬态增长、诸如 GMRES 的迭代求解器的收敛，以及离散化微分算子的稳定性。