鲍尔-法伊克定理

鲍尔-法伊克定理度量当你轻推一个可对角化矩阵时，它的特征值能移动多少。它捕捉到的意外之处是：答案不仅取决于轻推的大小，还取决于特征向量有多歪斜。几乎平行的特征向量会让特征值极度敏感。

设 A = V D V^-1 可对角化，并将它扰动为 A + E。定理说 A + E 的每个特征值 mu 都落在 A 的某个特征值的 kappa(V) ||E|| 距离之内，其中 kappa(V) = ||V|| ||V^-1|| 是特征向量矩阵的条件数。用记号写：对 lambda 取最小的 |mu - lambda| <= kappa(V) ||E||，使用诸如 2-范数的相容范数。

因子 kappa(V) 就是特征值条件。若 A 是正规的——对称、埃尔米特或酉——其特征向量可选为标准正交，于是 V 是酉矩阵，kappa(V) = 1，特征值至多移动 ||E||：这已是最好的情形。但对强非正规矩阵，kappa(V) 可能极大，微小的扰动就能把特征值抛得很远。

这解释了一个臭名昭著的数值事实：亏损或接近亏损的矩阵其特征值剧烈不稳定，准确计算它们之所以困难，并非因为算法糟糕，而是因为问题本身病态。鲍尔-法伊克是该警告的定量形式，而伪谱是它的图像。