外尔扰动（特征值）

外尔定理是对称矩阵的好消息：它们的特征值在扰动下几乎不动。若你给对称矩阵 A 加上一个小的对称误差 E，没有任何特征值的位移会超过 E 的大小。谱的稳定性已是你所能企盼的极致。

把对称（或埃尔米特）矩阵的特征值排序为 lambda_1 >= lambda_2 >= ... >= lambda_n。外尔不等式断言：对扰动矩阵 A + E，第 k 个特征值满足 |lambda_k(A + E) - lambda_k(A)| <= ||E||_2。更精细的双边版本用 E 的极端特征值把每个位移后的特征值夹在邻居之间。

其背后的引擎是 Courant-Fischer 极小极大刻画：每个特征值都是瑞利商在子空间上的极大-极小，而加上 E 会让每个瑞利商至多移动 ||E||_2。由于特征值由这些商构造，它们继承相同的界。这里不出现对角化条件——对称性保证了标准正交的特征向量。

在实践中，这正是对称特征值问题受信任的原因：阶为 epsilon 的测量噪声或舍入，使计算出的特征值至多移动 epsilon。它是鲍尔-法伊克的完美条件特例，也是同样稳健的奇异值扰动界在特征值上的类比。