柯西交错定理

柯西交错定理描述当你删去对称矩阵的一行及其对应列时，特征值会发生什么。更小的矩阵特征值更少，但它们不能落在任意位置——它们必须整齐地穿插在完整矩阵的特征值之间，绝不越出空隙之外。

设 A 是 n 阶对称矩阵，特征值为 lambda_1 >= ... >= lambda_n；设 B 是删去一行及同一列得到的 (n-1) 阶主子矩阵，特征值为 mu_1 >= ... >= mu_{n-1}。交错断言对每个 k 有 lambda_k >= mu_k >= lambda_{k+1}。每个子矩阵特征值都被父矩阵两个相邻特征值夹住。

更一般地，若 B 是 n 阶对称矩阵 A 的 m 阶主子矩阵，则 lambda_{k+n-m} <= mu_k <= lambda_k。证明再次倚靠 Courant-Fischer：把瑞利商限制到子空间只能把它的极大-极小值往里挤，绝不会往外扩。

回报既是理论的也是计算的。交错告诉你前导子矩阵的特征值永远不会大于整个矩阵，它给出用斯图姆序列在区间内计数特征值的方法，也是为何收缩和二分特征值求解器在对称问题上表现良好的根本原因。