測地曲率（geodesic curvature）
/ jee-oh-DEH-sik /
以穩定速度走一條畫在山坡上的曲線。你感受到的轉動有一部分是無可避免的——地面本身彎曲，迫使你上下起伏。但另一部分是你自己造成的：你正在曲面內向左或向右轉向，偏離最直的路徑。測地曲率量度的正是這第二部分——曲線在曲面內向旁邊偏的程度，不計曲面強加於它的彎曲。
精確地說，取曲面上一條曲線，以單位速率行進，看它的加速度向量（單位切向量的變化率）。這加速度分裂成兩個互相垂直的部分：一個沿曲面法向，其大小是法曲率 k_n；一個落在切平面內，其帶號大小是測地曲率 k_g。法向部分是曲面所迫的彎曲；測地部分是曲線自行的轉向。兩者合成曲線普通的（外在）曲率：kappa^2 = k_n^2 + k_g^2。決定性的特徵：k_g 只依賴第一基本形式，所以是內蘊的——曲面上的螞蟻不必看第三維就能量度一條路徑轉向多少。
測地曲率是「一條曲面曲線離直有多遠」的精確意義。測地線恰是處處 k_g = 0 的曲線——最直的可能路徑，不作任何自身的轉向。測地曲率也是高斯-博內定理的局部成分：沿一塊區域邊界積分 k_g，連同高斯曲率在區域上的積分與角點處的外角，得出 2*pi 乘以尤拉示性數。一個值得記住的提醒：一條曲線作為空間曲線可能看來很彎，測地曲率卻小或為零，因為它的大部分彎曲可能是被迫的法向部分。球面上一條大圓在空間中確實彎曲（kappa = 1/R），卻有 k_g = 0——它所有的彎曲都是法向的，沒有一點是轉向，這正是它為測地線的原因。
考慮地球儀上緯度 phi 的一條緯線（譬如北緯 phi = 60 度）。作為曲線它確實彎曲，但其中多少是「轉向」？它的測地曲率是 k_g = (1/R) tan phi。在赤道 phi = 0，故 k_g = 0——赤道是測地線，不作轉向。越往極走 phi 越大、tan phi 急升，故 k_g 增大：靠近極的小圈需要不斷朝極用力轉向才能維持其緯度，這正是為什麼這類圓遠非測地線。
緯線的測地曲率是 (1/R)tan(phi)：赤道處為零，近極處很大。
測地曲率是內蘊的，只量度曲面內的轉向；它不等同於曲線普通的曲率 kappa，後者還含被迫的法向部分（kappa^2 = k_n^2 + k_g^2）。一條在空間中急彎的曲線若其彎曲全為法向，可有 k_g = 0——那恰是測地線。