平行移動（parallel transport）
你握著一支矛，沿著彎曲曲面上的一條路徑行走，刻意絕不主動轉動矛——每跨一小步，你都讓它「盡可能平行」於先前的方向。平行移動就是做這件事的精確規則：沿曲線搬運一個切向量，同時使它相對於空間本身不旋轉。在平直平面上，這只是把箭頭滑動而不轉向；在彎曲曲面上卻會發生令人意外的事，而那份意外正是曲率被看見的時刻。
精確地說，給定列維-奇維塔聯絡，向量場 V 沿曲線被平行移動，當且僅當它沿曲線的共變導數為零：nabla_(dot c) V = 0，其中 dot c 是曲線的速度。在座標下，這是一組由克氏符號驅動的常微分方程，一旦固定起始向量便有唯一解——所以平行移動給出一種確定的、保長度與角度的方式，把任一向量從曲線的起點搬到終點。這正是讓你能比較不同點向量的構造，也就是裸切空間所欠缺的那種比較。
決定性的發現是：結果依賴路徑，不只依賴端點。把一個向量沿彎曲曲面上的一個閉迴圈搬一圈，它一般會帶著一個確定的角度轉回來；繞小迴圈的旋轉量恰恰是曲率，而繞大迴圈的旋轉（和樂，holonomy）則編碼著整體幾何。這是曲率最乾淨的動手定義：球面是彎的，因為一個向量沿三角形繞行一圈會轉著回來，而在平直平面上它總是原封不動地回來。測地線現在可以漂亮地重新描述為：平行移動自身速度的那些曲線。
在球面上，從北極出發，讓一個向量沿某條經線指向南方。把它沿經線帶到赤道（保持相切且不轉動），再沿赤道走四分之一圈，然後沿另一條經線回到北極。儘管你從未轉動它，向量回到北極時已旋轉了 90 度——旋轉量等於所圍面積乘以球面的曲率。
沿閉迴圈繞行一圈後帶著旋轉回家——那份旋轉，就是你能直接感受到的曲率。
在彎曲空間上，平行移動依賴路徑：同一向量沿兩條不同路線搬到同一終點，通常會不一致。與路徑無關等價於平坦，所以這種依賴不是缺陷，正是曲率的標記。