切空間（tangent space）
站在彎曲曲面上的某一點，問：我能從這裡出發的所有方向與速率是哪些？在光滑的球上，誠實的答案是一整片在該點與球相切的箭頭平面——切平面。切空間把這推廣到任意流形、任意維數：在每個點 p，它是所有通過 p 的曲線可能速度向量所構成的平直向量空間。它是流形在 p 處最好的平直逼近，是微積分發生的線性世界。
要把它說精確，有兩種等價的方式。圖像式：取任一條通過 p 的光滑曲線，它在 p 的速度就是一個切向量，而切空間 T_p M 就是所有這類速度的集合。代數式（這讓我們擺脫任何外圍空間）：一個切向量是一個導子（derivation）——一條規則，把 p 附近任一光滑函數送到一個數（它沿那方向的變化率），並服從線性與乘積律 f g -> f(p)(g 的變化率) + g(p)(f 的變化率)。兩種定義給出同一個 n 維向量空間。在座標為 x^1, ..., x^n 的圖卡裡，偏導算子 d/dx^1, ..., d/dx^n 構成一組基底，於是每個切向量都是組合 v = v^1 d/dx^1 + ... + v^n d/dx^n。
切空間日後是度量棲身之處（它量這些速度向量的長度與彼此的夾角），也是向量場、測地線與曲率全都在其上建構的地方。一個要緊的微妙之處：兩個不同點的切空間是真正不同的空間——沒有自動的辦法把 p 的向量和遠處 q 的向量相比。提供這樣的比較，正是聯絡與平行移動的工作；少了它，在彎曲流形上「那邊的同一個方向」根本沒有意義。
取平面上的單位圓與點 p = (1, 0)。一條沿圓通過 p 的曲線，例如 (cos t, sin t)，在 t = 0 的速度等於 (0, 1)。通過 p 的每條曲線的每個速度都是 (0, 1) 的倍數，所以 p 處的切空間是向量的垂直線 {(0, c)}——一個在 p 與圓相切的一維平直空間。
切空間蒐集一點處所有可能的速度；對圓而言，它就只是一條線。
別把切空間想像成實際漂浮在曲面外的東西——那幅圖只對畫在 R^3 裡的形狀有效。內蘊地說，它是附在該點上的抽象向量空間，完全由方向導數定義。