餘切空間（cotangent space）

如果說一點的切空間蒐集你能移動的所有方向，那餘切空間蒐集的就是量測這些移動的所有方式。想像一片山坡：在某點，陡峭程度不是由一支箭頭，而是由「每跨一步的變化率」來刻畫——一台機器，餵給它你可能走的任何方向，它就回報你的高度變化得多快。這樣的量測機器就是一個餘向量（covector），而餘切空間就是該點所有餘向量的集合。

精確地說，餘切空間 T_p* M 是切空間的對偶：從 T_p M 到實數的所有線性映射所成的集合。每個餘向量吃進一個切向量、吐出一個數。最乾淨的例子是函數的微分：對光滑的 f，p 處的餘向量 df 把切向量 v 送到方向導數 v(f)——它讀出 f 沿方向 v 變化得多快。在圖卡裡，座標微分 dx^1, ..., dx^n 構成餘切空間的一組基底，與切空間的基底 d/dx^1, ..., d/dx^n 對偶，意思是 dx^i(d/dx^j) 在 i = j 時等於 1、否則為 0。餘向量場稱為微分 1-形式，是沿曲線做積分最自然的對象。

把向量與餘向量分清楚，是幾何中最有用的紀律之一。在換座標時它們以相反方式變換（一個用雅可比、另一個用其逆），這正是物理學家把向量稱為「逆變」、把餘向量稱為「共變」的原因。在沒有額外結構時，沒有辦法把向量變成餘向量。黎曼度量恰恰就是這樣的結構：它提供一本字典（升降指標），把每個切向量與一個餘向量等同起來——但這個等同是另外加上的選擇，並非裸流形本身內建的東西。