光滑流形（smooth manifold）
想像你是一隻爬在巨大球面上的螞蟻。從你站的地方看，地面像一塊平坦的小區域——你可以在一張紙上畫出周圍鄰域的小地圖，標上 x、y 座標，它會忠實描述你眼前的環境。你無法用單一張平面圖一次描繪整個球面（任何世界地圖都會扭曲），但你可以用許多互相重疊的小地圖蓋住整個球面，每張都平坦而尋常。光滑流形正是這個想法的抽象版本：一個整體上不平坦、但在每個點附近的小範圍內看起來都像尋常平直空間（R^n）的空間。
精確地說：一個 n 維流形是一個空間 M，使得每個點都有一個鄰域，可透過一個光滑且可逆的對應，與 R^n 的一塊開集相匹配。每個這樣的對應稱為一張圖卡（局部座標系，chart）；蓋住整個 M 的一組圖卡稱為圖冊（atlas），就像地球的地圖冊。使它「光滑」的關鍵額外條件落在重疊處：當兩張圖卡覆蓋同一區域時，把一組座標換算成另一組的公式必須是無窮可微的。正是這唯一的要求，讓我們能在一個沒有外圍平直空間可棲身的空間上做微積分——求導數、定義速度、做積分。
黎曼（Riemann）所揭示的深刻之處在於：幾何不必棲身於某個更大的平直空間之中。球面通常被畫成嵌在 R^3 裡，但流形的想法讓我們能內蘊地研究它，只用居住者能量測的量，毋須任何外部觀測點。這正是使愛因斯坦的彎曲時空成為可能的關鍵：一個沒有「外部」的四維流形。一點提醒：「光滑」只指座標塊如何接合，不指幾何上沒有彎曲——一個彎得很厲害的球面仍是完美的光滑流形。
二維球面至少需要兩張圖卡：從北極做立體投影，把除北極外的一切映到一個平面上；從南極做投影，蓋住其餘部分。在重疊處（球面去掉兩極）換座標的公式是 z -> 1/z，它是光滑的——於是兩張圖卡構成一個光滑圖冊，而球面就是一個二維光滑流形。
單張平面圖蓋不住球面，但兩張重疊的平面圖可以——而它們光滑的重疊正是它成為流形的原因。
常見的混淆：成為光滑流形，與彎曲或平坦無關。曲率是由度量另外加上的結構；裸流形只知道自己的維數、以及哪些函數算光滑，並不知道距離或角度。