拓樸空間（topological space）

想像你想談論「鄰近」這件事，卻完全不去量測距離。在地圖上你能說兩座城鎮很近；在橡皮膜上你能把膜拉伸到距離劇烈改變，然而哪些點與哪些點相鄰——在「被一起圍住」的意義下——卻可以保持不變。拓樸空間就是要把這個「鄰近」的想法說精確時，所需的最低限度結構，眼前完全沒有任何尺。它是把幾何熬煉到只剩一個問題：無論你怎麼彎曲這幅圖，哪些點仍緊貼在一起？

實際的機制如下。你先取一個點的集合 X，再從 X 的子集中挑出一族，稱之為開集（open set），宣告它們為「開」。這一族只須遵守三條規則：整個集合 X 與空集是開的；任意多個開集的聯集是開的；有限多個開集的交集是開的。這就是全部定義——這族被選出的子集稱為 X 上的一個拓樸（topology）。拓樸所研究的一切（連續、連通、洞）全都從這三條規則裡擠出來。例如在普通的直線上，開集恰是那些能寫成若干開區間 (a, b) 之聯集的集合；「在點 x 附近」於是意指「落在某個圍住 x 的開區間之內」。

為何如此簡省？因為丟掉距離、只留開集，你恰好保住了那些能在拉伸彎曲下倖存的特徵——而那正是當一個形狀能連續變形成另一個時，兩者所共有的特徵。圓與正方形在度量上不同（一個有角、一個沒有），但作為拓樸空間它們是相同的。代價是拓樸完全看不見大小、角度或曲率；它刻意對這些視而不見，這既是它的威力，也是它誠實的侷限。