緊緻性（compactness）
緊緻性是拓樸學用來捕捉「空間有點像有限」這個想法的方式——有界且完整，沒有東西漏向無窮，邊緣也沒有缺漏的點。一顆封閉的實心球是緊緻的；無限長的直線不是（它一路跑到無窮）；開區間 (0, 1) 不是（它缺了端點，所以一個數列能朝 0 爬去卻在內部找不到極限）。直觀上，緊緻空間是你永遠無法靠滑出邊緣或奔向無窮而逃離的空間——無論你想往哪裡飄，都會被逮住。
俐落的現代定義是關於覆蓋。假設你用一族開集鋪滿整個空間，使每一點都至少落在其中一個裡——一個「開覆蓋」。這空間是緊緻的，若無論你從哪個開覆蓋出發，總能只留下其中有限多個集合而仍蓋住一切：每個開覆蓋都有有限子覆蓋。這聽來抽象，但它正是讓你能把無窮多個局部事實化為一個整體事實的性質。在直線與普通的 n 維空間裡有個友善的捷徑，海涅-博雷爾定理（Heine-Borel）：一個子集是緊緻的，恰當它既閉又有界。
緊緻性是最有用的不變量之一，因為它保證了良好的行為：緊緻空間上的連續實值函數必定取到最大值與最小值（極值定理），而緊緻空間的連續像仍緊緻。它也是拓樸用來證實一個曲面「有限」的方式——球面與環面是緊緻的，無限平面不是。誠實的微妙之處：「閉且有界即緊緻」在普通的有限維空間裡成立，但一般而言會失效（在無限維空間裡，一個閉且有界的集合可能不緊緻），所以開覆蓋的定義才是真正的定義，而海涅-博雷爾只是個特殊而舒適的情形。
用所有形如 (1/n - 0.01, 1)（n = 1, 2, 3, ...）的開區間，加上一個圍住 0 的小開集，去覆蓋閉區間 [0, 1]。這是個有無窮多塊的開覆蓋，然而你能挑出有限的一小撮仍蓋住從 0 到 1 的一切——因為 [0, 1] 是緊緻的。對開區間 (0, 1] 用 (1/n, 2) 試同樣的把戲：沒有任何有限子族能一路觸及到 0，所以 (0, 1] 不是緊緻的。
閉且有界的區間是緊緻的；拿掉那個閉端點，有限子覆蓋的保證就破了。
「閉且有界即緊緻」（海涅-博雷爾）只是有限維歐氏空間的特性；一般而言開覆蓋的定義才是真正的定義，在無限維中一個閉且有界的集合可能不緊緻。