曲面（topological surface）
在拓樸學裡，曲面是指任何一種形狀：只要你在它任一點上湊得夠近去看，它就像一張平坦的橡皮膜——儘管拉遠來看，它可能捲成球面、繞成甜甜圈、或扭成更怪的東西。球的表皮、貝果的表面、無限的桌面、管子的壁：每一個都是曲面，因為站在其上任何地方的一隻小螞蟻，都會覺得自己像在一片普通的平面上，有兩個獨立的方向可走。這個「局部二維、看起來平坦」的性質就是全部的想法。
說精確些，曲面（二維流形，2-manifold）是一個拓樸空間，其中每一點都有一個與平面的開圓盤同胚的鄰域——每一點周圍的一小塊都能變形成平面上一塊平坦的圓形。曲面分成兩大家族。緊緻且無邊界者——如球面與環面——是有限而無緣的：你走再久也碰不到邊。有邊界的曲面則有你會掉下去的邊緣，如圓盤（它的邊）或圓柱（它的兩個圓形端）。邊界存在時，它本身由圓或線構成。
曲面之所以重要，是因為它是拓樸第一個能完整分類其對象的有趣場合：每個緊緻無邊界的曲面，在同胚意義下，恰是一份乾淨清單裡的某一個——球面、環面、n 個洞的環面、以及由射影平面拼出的不可定向者——而這份清單完全由兩個簡單的數來排序（有幾個洞、以及是否可定向）。誠實的告誡：拓樸曲面與帶曲率的幾何曲面不是一回事。拓樸把球面與一個被狠狠壓凹的球面看成同一個曲面，因為它無視曲率與形狀，只數洞與側數。
拿一張平坦的長方形紙條。原樣是個有邊界的曲面（四條邊）。把左邊直直地黏到右邊，你得到一個圓柱——仍是曲面，現在有兩條圓形邊界。再把圓柱的兩端黏起來，你得到一個環面：完全沒有邊界的緊緻曲面，也就是甜甜圈。每一次黏合都讓每一點在局部上仍像平坦的平面，所以每個階段都是貨真價實的曲面。
紙條到圓柱到環面：黏合邊緣造出新曲面，同時讓每一點在局部上仍保持平坦。
拓樸曲面完全無視曲率：對拓樸而言一個完美的球面與一顆坑坑窪窪的馬鈴薯是同一個曲面，因為它只看洞與側數，不看形狀。