曲面的虧格（genus）
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曲面的虧格，用最親切的話說，就是洞的個數——或者更仔細地說，把手的個數。球面的虧格是 0：沒有洞、沒有把手。甜甜圈（環面）的虧格是 1：有一個你能伸進一根手指的洞，等價於一個把手。兩個洞的甜甜圈，像個有點蝴蝶餅味道的雙環面，虧格是 2，依此類推。虧格是那個單一的計數，它與可定向性合在一起，就完全確定了你眼前是哪一個緊緻曲面。
為了不靠揮手就把「洞的個數」說精確，拓樸學家用兩種等價的描述之一。其一：虧格 g 是你為了造出該曲面、要黏在球面上的把手數——從一個球面出發，黏上 g 個把手（管子），你就有了虧格 g 的可定向曲面。其二，較具操作性：虧格是你能在曲面上畫出並沿其剪開、卻不把曲面分成兩片的、互不相交的封閉曲線之最大條數。在球面上任何封閉曲線都把它剪成兩半（虧格 0）；在環面上你能沿一條迴圈剪——比如繞著管子——而仍是一塊相連的，但第二條獨立的這種剪法就會把它分開（虧格 1）。
虧格是拓樸不變量：它在任何拉伸彎曲下都不會改變，所以它證實了比如球面與環面是真正不同的曲面——沒有任何同胚能把 0 個洞變成 1 個。它透過閉的可定向曲面上的 chi = 2 - 2g 直接與尤拉示性數相連，這也是你能藉由數任一三角剖分的頂點、邊、面來算出虧格的方法。誠實的告誡：「洞的個數」直觀卻在隨口說時滑溜——虧格數的是把手（你能穿過去的洞），而一個中空的球面，儘管圍住了空腔，虧格仍是 0，因為那個被圍住的空腔不是把手。
一個咖啡杯的虧格是 1：別管杯碗的部分（那只是個凹陷，可以變形掉），拓樸上剩下的就是把手、一根單一的管子——恰好一個能穿過的洞，就像甜甜圈。一副眼鏡框（兩個鏡圈由鼻樑相連）虧格是 2：兩個洞。而一顆有四個線孔的鈕扣，把它所在的圓盤算進去後虧格是 3——每一個鑽穿的孔都讓虧格加一。
虧格數的是能穿線的洞：咖啡杯 1、眼鏡框 2、四孔鈕扣 3。
虧格數的是把手（你能穿東西過去的洞），而非被圍住的空腔：一顆中空的球圍住了空間，虧格卻是 0，與實心球面相同。