可定向性（orientability）
可定向性是指一個曲面是否擁有一致的「這一面」對「那一面」概念，或者等價地說，一致的「順時針」感。一張紙是可定向的：它有正面與背面，而若你在上面畫一個小小的順時針箭頭，把它沿著曲面滑到任何地方再帶回原處，它仍是順時針。莫比烏斯帶是著名的反例：拿一條紙帶，給它半圈扭轉再把兩端黏起，現在一隻螞蟻能從任一點爬到「另一面」而完全不必越過任何邊緣——它只有一面，而一個順時針箭頭繞回來會變成反向。
精確地說，一個曲面是可定向的，若你能在每一點選定一致的旋轉方向（或一致的「向外法向量」選擇），使其連續變化，並在你繞行任何封閉迴圈時處處吻合。它是不可定向的，若其上某處存在一條迴圈，沿著它滑動你的小繞圈箭頭、回來時手性會翻轉——一條「反定向迴圈」。莫比烏斯帶的中心圓正是這樣一條迴圈。一個曲面是可定向的，恰當它內部不藏有任何莫比烏斯帶；不可定向曲面正是那些藏有的。
可定向性是分類緊緻曲面的兩個數之一（另一個是虧格）：可定向者是球面與 n 個洞的環面，不可定向者是射影平面、克萊因瓶及其親屬。誠實的告誡：不可定向曲面是完完全全真實的數學對象，並非悖論——莫比烏斯帶愉快地存在於我們的三維世界裡。但封閉的不可定向曲面，如克萊因瓶，無法在三維空間裡造出而不穿過自己；那個自我交穿是三維的侷限，而非曲面的瑕疵，它在四維裡乾乾淨淨地存在。
用一條有半圈扭轉的紙帶做出莫比烏斯帶，然後拿筆沿著它的中線畫一條線、筆不離紙，直到回到起點。你會發現自己用一筆連續的筆畫畫過了「兩面」，而這條線是紙帶長度的兩倍——證明它真的只有一面。沿那條中線剪開，出人意料地，帶子不會裂成兩片，而是仍連成一個更長的圈：可定向性失效有著實實在在的後果。
莫比烏斯帶：一個半圈扭轉摧毀了雙側性，沿中線剪開後它仍是一整片。
像克萊因瓶這樣的封閉不可定向曲面無法嵌入三維空間而不自我相交；那個自我交穿是把它硬塞進三維造成的假象，並非瑕疵——它在四維裡能無交穿地嵌入。