測地線（geodesic）
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從倫敦飛東京的噴射機，並不沿著你在平面地圖上會畫的直線飛；它向北弧過北極上空。那道弧是橫越彎曲地球的最短路線——一條大圓路徑。測地線是「直線」推廣到任何彎曲曲面的版本：它是鄰近兩點間局部最短的路徑，等價地說，是你留在曲面上所能畫的「最直」曲線。
有兩種等價的精確圖像，看出它們一致正是這想法的核心。(1) 最短路徑觀點：測地線是局部使弧長極小的曲線——在曲面上釘住鄰近兩點，沿曲面把一條繩拉緊，它就躺在一條測地線上。(2) 最直曲線觀點：測地線是測地曲率處處為零的曲線。這表示當你以等速行進時，它的加速度向量純粹指向曲面法向，在切平面內沒有分量——曲線從不在曲面內「往旁邊轉」；它所顯示的任何彎曲，都只是曲面本身強加的、無可避免的彎曲。等價地說，速度向量沿曲線被平行移動：測地線把自己的方向盡曲面所允許地忠實向前帶。
測地線是曲面內蘊的「走直」概念，而因為它們僅由第一基本形式定義，它們是內蘊概念——螞蟻不必離開曲面就能找到它們。它們在任何曲率要緊之處都居核心：愛因斯坦廣義相對論中的光與自由粒子沿彎曲時空的測地線行進；最短的航運與飛行路線是地球的測地線。兩個誠實的提醒。其一，測地線是局部最短，未必整體最短：球面上一條大圓是測地線，但兩點間「繞遠路」走它仍是測地線，卻顯然不是最短路線。其二，測地線不是「曲率線」，一般也不是法截線；別把「最直路徑」（測地線）與「主彎曲方向」（曲率線）混淆。
在球面上，測地線恰是大圓——平面通過球心的圓，如赤道或任一條子午線。一城到另一城的最短航線沿著通過兩者的大圓，這正是為什麼極地航線在平面地圖上看似彎曲，在地球上卻確實最直。相對地，一條緯線（赤道以外）並非測地線：走它時你必須不斷朝較近的極轉向，所以它有非零的測地曲率。
球面上測地線是大圓；一般的緯線不是。
測地線只是局部最短。球面上兩個非對徑點之間有兩段大圓弧——近的與遠的——兩者都是測地線，但只有近的使距離最小。「測地線」意指「不往旁邊轉向」，這只在夠小的片段上才保證最短。