高斯-博內定理（Gauss-Bonnet theorem）
/ GOWSS bo-NAY /
這裡有一個好得幾乎不像真的事實。把分布在像球面或甜甜圈這樣的封閉曲面上的所有曲率加總起來，這個大總和根本不依賴曲面的確切形狀——它只依賴曲面有幾個洞。把球面壓凹、拉長、弄得坑坑窪窪：總曲率始終固定。高斯-博內定理就是把局部曲率（一個度量的、幾何的量）繫於整體拓樸（一個數洞的、無視形狀的量）的精確定律。
有兩個層次。局部（區域）版本：對曲面上一塊由分段光滑曲線圍成的區域 R，高斯曲率 K 在 R 上的積分，加上測地曲率 k_g 沿邊界的積分，再加上任何角點處外轉角之和，等於 2*pi。以符號說：(K 在 R 上的積分) + (k_g 沿邊界的積分) + (外角之和) = 2*pi。整體版本：對一個無邊界的封閉可定向曲面 S，邊界項消失，得到 K 在整個 S 上的積分 = 2*pi*chi(S)，其中 chi = V - E + F 是尤拉示性數——一個純拓樸不變量（球面 chi = 2，環面 0，有 g 個洞的曲面 2 - 2g）。所以總高斯曲率被拓樸量子化了。
這是數學中最美的定理之一，因為它迫使幾何與拓樸彼此相符。它推廣了課本上三角形內角和為 180 度的事實：在彎曲曲面上，測地三角形的內角和恰好超出（或不足）pi，差額正是其內部的總曲率——球面上角盈（K > 0），鞍面上角虧（K < 0）。它解釋了為什麼你無法給球面一個平坦度量（那需要總曲率 0，但拓樸要求 2*pi*2 = 4*pi），以及為什麼環面可以做成平的（chi = 0 容許總曲率 0——因此有電玩中的平坦環面世界）。一個誠實的範圍說明：定理需要曲面緊緻，且（為了乾淨的整體形式）無邊界且可定向；而 chi 數洞、不數大小——一個微小的環面與一個巨大的環面有相同的總曲率 0，因為決定總和的是拓樸而非幾何。
取半徑 R 的球面上一個測地三角形，三邊都是大圓弧。高斯-博內定理（測地邊上 k_g = 0）化為：(三角之和) - pi = (K 在三角形上的積分) = (1/R^2)(面積)。所以內角和超出 180 度的量恰是 面積/R^2。一個覆蓋球面八分之一（一個卦限）的三角形有三個直角，和為 270 度——超出 90 度——這在平面上鮮明地不可能。對整個球面，K 的積分 = (1/R^2)(4*pi*R^2) = 4*pi = 2*pi*chi，其中 chi = 2。
測地三角形的角盈等於它所圍的總曲率。
封閉曲面的總高斯曲率只依賴其拓樸（洞的數目），不依賴大小或形狀：一個高爾夫球般凹凸的球面與一個完美球面積分都得 4*pi。彎曲或壓凹只是把曲率挪來挪去，永遠無法改變總和——尤拉示性數把它釘死。