第一基本形式（first fundamental form）
想像你是一隻住在曲面上的螞蟻，無法離開它，手裡只有一把小尺。你想量你走過的路徑長度、兩條路徑相交的角度，以及一塊區域的面積——而且全程都不踏入周圍的空間。第一基本形式正是讓你辦到這件事的那把尺。它是一條規則，告訴你在曲面自己的 (u, v) 座標裡，一小步對應多少真實距離。
以下是其機制。取一個參數化 x(u, v)，其切向量為 x_u 與 x_v。從它們的點積造出三個數：E = x_u . x_u、F = x_u . x_v、G = x_v . x_v。這三個函數就是第一基本形式。曲面上無窮小一步 (du, dv) 的長度平方為 ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2。只憑 E、F、G 你就能算出一切與度量有關的量：曲線的長度（沿線積分 ds）、兩個切方向間的夾角（一條映射點積餘弦的 E、F、G 公式），以及區域的面積（積分 sqrt(E*G - F^2) du dv，因為 sqrt(E*G - F^2) = |x_u x x_v| 正是 x_u 與 x_v 張成的小平行四邊形的面積）。對於普通直角座標下的平面，E = 1、F = 0、G = 1，而 ds^2 = du^2 + dv^2 就是畢氏定理。
第一基本形式是內蘊幾何的核心——也就是螞蟻從內部、不看曲面如何嵌入空間就能知道的幾何。它至高的重要性由高斯絕妙定理蓋章確認：高斯曲率可以單憑 E、G、F 及其導數算出，所以連看似關乎彎入第三維的曲率，骨子裡也是內蘊的。一個關鍵提醒：同一個曲面在不同參數化下有不同的 E、F、G（正如一個國家的形狀在不同地圖投影下由不同數字記錄），但它們所預測的長度、角度與面積永遠相同。而兩個有相同第一基本形式的曲面可以互相彎曲而不拉伸——一張平紙與一個圓柱面共用平面的度量，這正是為什麼你能把紙捲成管子，卻永遠無法平滑地把它包在球上。
半徑 R 的圓柱，參數化為 x(u, v) = (R cos u, R sin u, v)，有 x_u = (-R sin u, R cos u, 0) 與 x_v = (0, 0, 1)。故 E = x_u . x_u = R^2、F = x_u . x_v = 0、G = x_v . x_v = 1，得 ds^2 = R^2 du^2 + dv^2。代入 s = R*u（沿圓周的弧長）化為 ds^2 = ds_水平^2 + dv^2——恰是平面的度量。這正是圓柱在內蘊上平坦、能不拉伸地攤回紙上的確切原因。
圓柱的度量化為平面的度量：它是內蘊平坦的。
第一基本形式量度曲面內部的距離與角度；它本身完全不說曲面如何彎入空間——那是第二基本形式的職責。平坦的平面與捲起的圓柱有相同的第一基本形式，卻彎曲得非常不同，因為彎曲是外在的，而度量是內蘊的。