切平面（tangent plane）
站在平滑的山坡上，看看正在腳下的那一小塊地。在夠小的範圍內它看來是平的，儘管整座山是彎的。在你所站之點與曲面最貼合的那個平面——若你只看無窮小鄰域時曲面會落入的平面——就是切平面。它是曲線切線的二維對應物：曲面在一點上最佳的平面逼近。
精確地說，固定正則曲面 S 上一點 p，以及一個滿足 x(u_0, v_0) = p 的參數化 x(u, v)。該點的兩個偏導向量 x_u 與 x_v 與曲面相切（它們是過 p 的座標曲線的速度）。因為曲面正則，x_u 與 x_v 獨立，故它們張成一個過 p 的真正平面——這平面就是切平面，記作 T_p S。曲面在 p 的每個切向量——S 上任一條過 p 的光滑曲線的速度——都是這兩個基底向量的組合 a*x_u + b*x_v。所以 T_p S 收集了你在保持（到一階為止）留在曲面上時所能移動的所有方向。垂直於整個此平面的那唯一方向就是曲面法向量。
切平面是進行曲面微積分的舞台。第一基本形式活在它上面（不過是把點積限制到切向量），高斯映射與第二基本形式靠觀察法向量在你於其中移動時如何傾斜來讀出，而測地線則是加速度在切平面內沒有分量的曲線。一個提醒：T_p S 是過 p 的真實平面，在空間中有確定位置，但許多場合我們把它平移到原點，當作一個二維的方向向量空間——「切空間」。兩種圖像都標準；看到切平面被畫成貼著曲面，或被畫成一個抽象的箭頭平面，都不必驚訝。
在單位球面 x^2 + y^2 + z^2 = 1 的頂點 (0, 0, 1) 處，切平面是水平面 z = 1：它恰在那一點觸碰球面並平貼著它。該處的基底向量 x_u、x_v 都落在這個水平面內，而曲面法向量沿 (0, 0, 1) 直直向上。你能在球頂「滾動一顆小球」的任何方向都活在這個平面裡。
切平面在一點觸碰球面；法向量在該處朝外。
切平面觸碰曲面，但遠離接觸點後一般並不貼著它——在鞍點處，曲面從兩側穿過自己的切平面。「相切」只表示在一點上一階相符，並不代表曲面落在平面的某一側。