曲面參數化（surface parametrization）
把彎曲世界畫成平面地圖，就是這個想法的日常版本。地球儀帶著不方便，於是我們把它的區域攤平到紙上，加上經緯網格。地圖上每一點對應地球儀上一點，網格讓你用兩個數字為地點命名。曲面參數化對任何彎曲曲面做的正是這件事：它把一張平坦的 (u, v) 座標紙鋪在曲面的一片上，使這片上每一點都得到一個地址 (u, v)。
具體而言，一片的參數化是一個光滑映射 x(u, v)，把 (u, v) 平面上一塊平坦區域映入空間並落在曲面上，且是一對一又正則的（其偏導 x_u 與 x_v 處處獨立，故 x_u x x_v 永不為零）。兩個偏導正是你在曲面上移動時感受到的速度向量：固定 v 讓 u 跑得到 x_u，固定 u 讓 v 跑得到 x_v。固定其中一個座標所描出的曲線稱為座標曲線；它們合起來構成畫在曲面上的曲線網格。要找曲面上的點，只需代入 (u, v)；要在那裡做幾何，就把 x 對 u 與 v 微分。
參數化是整門學科的實用引擎：切平面、法向量、長度、面積與曲率，全都靠對 x(u, v) 微分來計算。兩個誠實的提醒。其一，單一參數化很少能覆蓋整個封閉曲面——經緯網在地球儀的兩極失效，那裡網格擠成一團——所以我們用數張重疊的參數化，並檢查它們在重疊處一致。其二，(u, v) 座標是一種選擇，就像選用哪種地圖投影；曲面本身並不知道它們，任何真正的幾何事實，不論你用哪種參數化，結果都必須一樣。
半徑 R 的球面有經緯參數化 x(u, v) = (R cos u cos v, R cos u sin v, R sin u)，其中 u 是緯度（從 -pi/2 到 pi/2），v 是經度（0 到 2pi）。代入 u = 0、v = 0 得赤道上的點 (R, 0, 0)。偏導 x_u 與 x_v 沿曲面指向「北」與「東」——除了兩極 u = +-pi/2 外處處獨立；在兩極 x_v 塌為零，所以參數化恰在那裡失效（正如平面地圖在兩極無望地扭曲）。
經緯參數化覆蓋球面，除了兩極之外。
參數化是工具，不是曲面本身。同一片有無窮多種參數化；依賴於選擇的量（如原始座標）只是記帳，而在每種參數化下都相同的量（長度、面積、曲率）才是真正的幾何。