參數曲線（parametrized curve）

想像一隻小蟲沿著一條鐵絲爬行，或一支筆尖在紙上描出一個形狀。每一瞬間小蟲都在一個確定的位置，隨著時間前進，牠便掃出一條路徑。參數曲線正是把這個想法精確化：一條規則，對每個數值（把它想成時間）給你一個點。我們不再用 x^2 + y^2 = 1 這類方程式一次描述整條曲線，而是把它描述為一趟旅程——每一刻你在哪裡。

精確地說，平面上的參數曲線是一個函數 r(t) = (x(t), y(t))，它取某區間中的一個數 t，回傳一個點；在空間中則是 r(t) = (x(t), y(t), z(t))。變數 t 稱為參數。例如 r(t) = (cos t, sin t)，t 由 0 到 2 pi，描出單位圓：t = 0 時在 (1, 0)，t = pi/2 時在 (0, 1)，依此逆時針而行。我們通常要求座標函數是光滑的，意即可隨意多次微分，使速度與加速度有意義。導數 r'(t) = (x'(t), y'(t)) 是速度向量：它指向行進方向，長度即為速率。

一個誠實而關鍵的要點，是區別曲線（實際走過的點所成的集合，那條彎曲的鐵絲本身）與參數化（點如何沿著它移動的特定時間表）。同一個幾何形狀可以用無窮多種方式走過——快或慢、前進或倒退、甚至停頓——所以許多不同的參數曲線共用同一個像。曲線的微分幾何大半是門藝術，要把形狀真正的幾何，從時間表的偶然選擇中分離出來；一個反覆出現的主題是找出一份標準而公平的時間表（弧長參數化），使小蟲以固定的單位速率移動。