重新參數化（reparametrization）

若兩人沿同一條步道而行，卻各帶自己的手錶、用各自的步速，他們便以不同的時間表描述了同一條路徑。在保持路徑本身不變的前提下，把一份時間表換成另一份，就是重新參數化。它是「同一曲線、不同時間表」的正式說法，也是讓我們分辨曲線哪些特徵是真幾何、哪些只是描繪方式之偶然產物的工具。

精確地說，給定在某區間上定義的參數曲線 r(t)，重新參數化是一條新曲線 r-tilde(s) = r(t(s))，其中 t = t(s) 是一個光滑且具光滑反函數的函數，把新參數 s 換算為舊參數 t。使之合法的條件是 t'(s) 永不為零——它必須恆正（保持行進方向）或恆負（將其反向）。由連鎖律得新速度為 r-tilde'(s) = r'(t) t'(s)：方向不變（或恰好反向），只有速率被重新縮放。其像——走過的點集——完全相同。例如由 r(t) = (cos t, sin t) 令 t = 2s，得 r-tilde(s) = (cos 2s, sin 2s)，即以兩倍速描出的同一個圓。

重新參數化是曲線理論核心策略背後的引擎：因為你可自由地為正則曲線重排時間表，你便能選出最乾淨的那一份，即弧長參數化，其中速率恆為 1。凡能挺過每一次重新參數化的量——如像、切線與曲率——才是真正的幾何不變量；會改變的量，如速率 |r'(t)| 或某點的特定 t 值，只是記帳。誠實的提醒：把方向翻轉的重新參數化（t'(s) < 0）會反轉單位切向量，且對平面曲線會翻轉帶號曲率的正負號，所以定向是你必須記住的真實選擇。