弧長參數化（arc-length parametrization）

假設你衡量沿曲線前進的進度，不靠時鐘而靠捲尺：你從選定的起點記號實際走了多少距離。這段距離就是弧長，通常記為 s。弧長參數化就是以這段量得的距離本身作為參數的時間表。它是走過一條曲線最公平的方式，因為每走一單位參數，恰好就走了一單位長度——小蟲以固定的單位速率爬行，從不加速或減速。

首先，正則曲線 r(t) 從 t = a 到 t = b 的弧長是積分 s = integral from a to b of |r'(t)| dt，它把速率隨時間累加而得總距離，正如等速行走時距離等於速率乘時間。現定義 s(t) 為從固定起點量得的這段長度。因曲線正則，|r'(t)| > 0，故 s(t) 嚴格遞增，可反解出 t 為 s 的函數；代回便得新參數化 r(s)，由連鎖律，對每個 s 速率恰為 1：|r'(s)| = 1。這就是單位速率的意思。作為方法：要做弧長參數化，(1) 算 |r'(t)|，(2) 積分得 s(t)，(3) 解出 t(s)，(4) 代回。對 r(t) = (cos t, sin t)，|r'(t)| = 1 已成立，所以 t 本身就是弧長，這個圓已是單位速率。

何苦如此？因為一旦速率恆為 1，曲線理論的公式便褪去所有累贅。單位切向量就是 T = r'(s)；曲率就是 kappa = |r''(s)|，即加速度的大小；福雷內-塞雷公式也化為最乾淨的形式。對弧長微分剝除了任意的時間表，露出純粹的幾何。唯一誠實的缺點是實務上的：s(t) 的積分往往沒有初等的封閉形式（即使對橢圓也會導出橢圓積分，名稱即由此而來），所以弧長參數化是一種強而有力的理論正規化，卻不總能明寫出來。