曲線的曲率（curvature）

人人都有直覺：一個急轉的髮夾彎比和緩的大彎「更尖」，而一個小圓比大圓「更彎」。曲率正是把這種感覺化為數學的精確數字。它度量你沿曲線前進時方向改變的快慢：永不改變方向的直線處處曲率為零，而方向迅速擺動的緊小圓則有大曲率。

乾淨的定義用單位速率（弧長）參數化。單位切向量 T 告訴你行進方向；當你移動一小段距離 ds，T 轉動一點，曲率 kappa 就是這轉動的速率：kappa = |dT/ds| = |T'(s)|，即方向向量每行進單位長度轉動快慢的大小。對一般（非單位速率）參數化有實用公式：平面上 kappa = |x' y'' - y' x''| / (x'^2 + y'^2)^(3/2)，空間中 kappa = |r' x r''| / |r'|^3。一個美麗的事實把曲率連到圓：每一點曲線都有一個最佳貼合的圓，即密切圓，而曲率就是該圓半徑的倒數，kappa = 1/R。所以半徑 R 的圓有固定曲率 1/R——大圓（R 大）和緩地彎（kappa 小），小圓則尖銳地彎。

曲率是基本的，因為它與撓率一起完全決定一條空間曲線到剛體運動為止——這就是曲線基本定理。它也有物理表現：以速率 v 沿一路徑行進所需的向心加速度是 v^2 乘 kappa，這正是高速急轉會狠狠把你甩向側邊的原因。有兩點誠實的提醒值得大聲說。其一，曲率是精確的量，不是「看起來多彎」的模糊印象——它每一點都有公式與數值。其二，曲線的曲率（曲線在其周圍空間中如何彎曲，是外在概念）與曲面的高斯曲率（內蘊概念，絕妙定理的主題）是不同的東西；切莫把一條鐵絲的彎曲與一張紙面的曲率混為一談。