福雷內-塞雷公式（Frenet-Serret formulas）
/ fruh-NAY suh-RAY /
我們有一具沿空間曲線而行的移動三腳架——單位切向量 T、主法向量 N、副法向量 B。當小蟲前進，這三腳架轉動，一個自然的問題是：究竟如何轉？福雷內-塞雷公式正是精確的答案。它們是三條方程式，告訴你每個標架向量的變化率，並以標架本身回表之，把全部幾何打包進僅僅兩個數——曲率 kappa 與撓率 tau。
以弧長 s（單位速率）作業，公式為：T'(s) = kappa N（切線以速率 kappa 朝法向量轉——純彎曲）；N'(s) = -kappa T + tau B（法向量轉回朝負切向量、並朝前往副法向量）；以及 B'(s) = -tau N（副法向量以速率 tau 朝負法向量轉——純扭轉）。把它們讀作一句話：整個標架剛性地轉動，其轉動的角速度是達布向量 omega = tau T + kappa B，使得 T' = omega x T、N' = omega x N、B' = omega x B。美妙的結構在於：把 (T', N', B') 連到 (T, N, B) 的矩陣是反對稱的——只有兩個獨立元素 kappa 與 tau——這是「正交歸一標架只能轉動、絕不伸縮」這一事實的代數投影。
這三條公式是曲線局部理論的主力。它們把空間曲線的幾何化為一個由 kappa(s) 與 tau(s) 驅動的線性微分方程系統；給定起點與起始標架，解此系統便重建出曲線。這正是曲線基本定理背後的機制：指定 kappa 與 tau，積分福雷內-塞雷方程，便得出唯一的曲線到剛體運動為止。一貫的誠實提醒與標架本身相同：此形式的公式假設曲率非零，使 N 與 B 有定義；在 kappa = 0 的段落，標準標架失效，須以替代標架補綴。
對平面上的單位圓，kappa = 1、tau = 0，故公式化簡為 T' = N 與 N' = -T，且 B 為常向量。這正是等速旋轉的方程式——對旋轉的一對 (T, N) 微分，它們便循環地互換——這就是圓上標架以穩定速率自旋、且圓保持平面的緣由。
T' = kappa N、N' = -kappa T + tau B、B' = -tau N：由曲率與撓率驅動的轉動。
簡潔的「反對稱矩陣」形式編碼了「正交歸一標架只能轉動、不能變形」這一事實。公式假設 kappa 非零，使 N 與 B 存在；曲率消失之處，標準標架與這些方程皆失效。