福雷內標架（Frenet-Serret frame）

想像一具微小的陀螺儀沿曲線而行，攜帶自己一組三條互相垂直的軸，隨曲線彎曲、扭轉而轉動翻滾。福雷內標架不從外部用固定的房間座標描述曲線，而是從沿曲線移動的旅人視角描述它——一套隨路前行、內建於己的個人座標系。這「移動中的標架」是空間曲線局部理論的核心組織概念。

在正則空間曲線（以弧長參數化、曲率非零）的每一點，標架由三條互相垂直的單位向量構成：單位切向量 T = r'(s)，沿曲線朝前；主法向量 N = T'/|T'|，朝彎道內側；副法向量 B = T x N，垂直於兩者並為彎曲平面的法向量。它們構成右手正交歸一三元組，是沿曲線攜行的類 (x, y, z) 軸系。它們所張的三個平面各有其名：T 與 N 張出密切平面（彎曲所在的平面），N 與 B 張出法平面（垂直於曲線），T 與 B 張出從切平面。當點前進，整個三腳架轉動，而福雷內-塞雷公式正記錄了 T、N、B 如何彼此轉化，僅由兩個數所支配——曲率與撓率。

活動標架的威力在於它把幾何化為可積分的記帳。因標架附著於曲線本身，其各軸轉動的速率（曲率 kappa 與撓率 tau）是形狀的內蘊特徵，與你如何把曲線擺放於空間無關。這正是曲線基本定理背後的引擎：把 kappa 與 tau 指定為弧長的函數，福雷內-塞雷公式便能重建曲線，唯一地確定到你把它放在何處為止。誠實的提醒：標準福雷內標架要求曲率非零（在直線段與反曲點處失效，那裡 N 無定義），對含此類點的曲線，人們改用如畢曉普（平行移動）標架等替代方案以避開奇異。