密切圓（osculating circle）
/ OSS-kew-lay-ting /
在曲線上任一點，於你能畫的所有圓中，恰有一個比其餘任何圓都更貼合曲線——不只吻合該點與方向，連彎曲的速率也吻合。那個最佳貼合圓就是密切圓。其名源自拉丁文 osculari，「親吻」之意：它是親吻曲線的圓，在該處共享所能達到最親密的接觸。切線是最佳的直線近似，密切圓則是最佳的圓近似。
精確地說，在曲率為 kappa（設 kappa 不為零）的曲線上一點 P，密切圓是唯一一個在 P 處與曲線有相同切線、且有相同曲率的圓。其半徑為 R = 1/kappa，稱為曲率半徑，其圓心位於從 P 沿主法向量 N 方向距離 R 之處——即在彎道的凹（內）側，位於點 P + R N。所以尖銳彎曲處（kappa 大）得到小親吻圓，近乎筆直處（kappa 小）得到極大的圓，而完全筆直的一段（kappa = 0）得到「無窮半徑的圓」，即切線本身。具體求法：在 P 算 kappa，令 R = 1/kappa，求 N，把圓心放在 P + R N。
密切圓使曲率變得可見可觸：kappa = 1/R 字面上說曲率是親吻圓半徑的倒數，所以你能藉觀察一條曲線密切圓的緊密程度而看見它的曲率。當 P 沿曲線移動時，所有密切圓圓心所描的軌跡是一條新曲線，稱為漸屈線。關於「親吻」一詞有一個誠實的細微處：密切圓在接觸點處通常穿過曲線，而非停在一側，因為它與曲線吻合到二階——位置、斜率與彎曲皆一致——這比切線貼合得近得多，足以使它穿越而過，而非僅僅相觸。
對拋物線 y = x^2 在其頂點 (0, 0)，曲率為 kappa = 2，故曲率半徑 R = 1/2。主法向量筆直朝上，故密切圓圓心為 (0, 1/2)、半徑 1/2——即圓 x^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4，安臥於拋物線底部彎曲之內。
親吻圓：相同切線、相同曲率、半徑 R = 1/kappa、圓心在 P + R N。
儘管名為「親吻」，密切圓在接觸點通常穿過曲線，而非從一側相觸，因為它吻合到二階。在曲率為零處沒有有限的密切圓——該角色由切線扮演。