法曲率（normal curvature）

站在起伏曲面的一點上問：「如果我往這個方向走，地面彎得多急？」往一個方向走，地面也許緩緩上升；轉九十度，它也許陡然下落。你感受到的曲率取決於你所選的方向。法曲率就是回答「曲面在這個特定方向上彎曲多少」的那個數，純粹以朝向或背離曲面法向量的彎曲來量度。

精確地說，固定一點 p、一個單位切方向 w，用含 w 與單位法向量 N 的平面切曲面。該平面把曲面截成一條曲線（「法截線」）。法曲率 k_n(w) 就是這條截線在 p 處的帶號曲率——朝 N 彎為正，背離為負。有一條乾淨的公式：k_n(w) = II(w, w)，即第二基本形式作用在單位方向 w 上。另一條路徑（莫尼耶定理）說：對曲面上任一條過 p、單位切向量為 w 的曲線，其曲率向量沿法向的分量都等於 k_n(w)；只有曲率在曲面內（測地）的部分才依賴於那條特定曲線。所以法曲率是方向的性質，而非你恰好在該方向畫了哪條曲線的性質。

法曲率是從「每個方向一個數」通往整幅曲率圖像的橋樑。當 w 繞切平面一圈時，k_n(w) 隨之變化，尤拉公式給出 k_n = k_1 cos^2 theta + k_2 sin^2 theta，其中 k_1、k_2 是主曲率（k_n 的最大與最小值），theta 是與第一主方向的夾角。所以每個法曲率都介於 k_1 與 k_2 之間。一個誠實的提醒：法曲率的符號取決於所選法向量 N 的方向。翻轉 N，每個法曲率都變號；不依賴此選擇而真正有意義的是乘積 k_1*k_2（高斯曲率），因為雙重變號互相抵消。