極值長度（extremal length）

你如何以一種在共形彎曲下不變的方式量度一個區域的「形狀」？普通的長度與面積在拉伸下會變，但共形映射保持角度，所以理應有一個能在它們下存活的量。極值長度正是這樣一個共形不變量：一種給一族曲線（譬如所有橫向短邊穿越矩形的曲線）指派一個數、且不被任何共形映射改變的方法。它是現代、度量幾何取向之共形映射的主力。

這個想法歸於阿爾福斯與貝林，是一個巧妙的最佳化。給定區域中一族曲線，你考慮在該區域上放置共形度量 rho |dz|（一個非負權 rho）的所有方式，量度每條曲線的 rho 長度與區域的 rho 面積，然後對度量取（該族的最短 rho 長度）^2 除以（總 rho 面積）的上確界。那個上確界就是該族的極值長度。達到它的度量是「極值度量」，它恰好把權集中在曲線被迫變長的地方。對一個矩形，連接兩短邊的曲線族的極值長度等於比值（寬 / 高）——回收出矩形熟悉的共形模數。

因為它是共形不變的，極值長度把幾何問題化為可計算的比較：它給出畸變與增長估計、調和測度的界、以及環域與四邊形模數的乾淨證明。它也是擬共形映射的自然語言，後者只以一個有界因子畸變極值長度。一個警告：極值長度是「曲線族」的性質，而非單條曲線或單點的性質，而定義中的上確界確實是一個極值（最佳化）問題——其名是字面意義的。精確計算它通常只在對稱情形下可能；一般而言只能由上下兩側估計它。