增長定理（growth theorem）
若圓盤的單葉映射在中心固定了尺度，它能把一個位於通往邊界 r 比例處的點帶得多遠、又能帶得多近？你也許擔心毫無控制——一對一映射能拉伸很多。增長定理令人安心地說：有緊的雙邊控制：在每個半徑上，模 |f(z)| 被夾在一個顯式的最小與最大值之間，而兩個極端都由科貝函數實現。
精確地說，對 S 類中的 f 與滿足 |z| = r < 1 的點 z，增長定理陳述 r/(1 + r)^2 <= |f(z)| <= r/(1 - r)^2。上界說 f 不能比科貝的速率更快地爆增；下界說 f 也不能比科貝的速率更快地塌向 0。兩個界都來自沿半徑對畸變定理（它界定 |f'|）積分，且兩者都尖銳——每一側的等號都由科貝函數 k(z) = z/(1 - z)^2 的適當旋轉達到，其在實軸上的模恰為 r/(1 - r)^2。
這正是使 S 類成為一個真正受控的族、而非一座狂野動物園的東西：僅知道一個映射是正規化且單葉的，就把它在每個內部半徑的大小釘進一個固定的包絡內。在下界中令 r 趨近 1 也回收出科貝四分之一定理（被遺漏的值至少在 1/4 之外）。一個警告：這些界是關於半徑 r 處的模 |f(z)|，不是關於 f(z) 指向哪個方向；且它們只適用於正規化的 S 類——去掉 f'(0) = 1，常數就必須相應重新縮放。
取 r = 1/2。增長定理把任意 S 中 f 在 |z| = 1/2 處的 |f(z)| 限制到帶狀區 (1/2)/(3/2)^2 = 2/9 <= |f(z)| <= (1/2)/(1/2)^2 = 2。科貝函數在正實軸上達到上值 2；一個旋轉達到下值 2/9。
在半徑 r 處，模 |f(z)| 被夾在 r/(1+r)^2 與 r/(1-r)^2 之間。
增長定理只界定大小 |f(z)|；該值的輻角是自由的。且它需要正規化 f'(0) = 1——沒有它，這些界要乘上 |f'(0)|。