比貝爾巴赫對第二係數的界（Bieberbach bound）
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一旦你把單葉映射正規化進 S 類，最先要問的就是：下一個係數能有多大？級數從 f(z) = z + a_2 z^2 + ... 開始，而 a_2 量度與平淡恆等映射的第一個偏差。比貝爾巴赫於 1916 年用一個乾淨的數回答了這問題：第二係數的大小絕不超過 2。它是理論中幾乎每個後續估計賴以站立的基石。
精確地說：對 S 類中每個 f，|a_2| <= 2，而這個界是尖銳的——等號恰好對科貝函數 k(z) = z + 2 z^2 + 3 z^3 + ... 的旋轉成立，其 a_2 恰為 2。證明簡短而優美：給定 S 中的 f，作奇平方根變換 h(z) = sqrt(f(z^2)) = z + (a_2/2) z^3 + ...，驗證它仍單葉，過渡到它倒數型的展開以落入 Sigma 類，再套用面積定理。面積定理給的單一不等式 sum n|b_n|^2 <= 1 便讀出 |a_2| <= 2。
值得在意的理由是槓桿作用。僅由 |a_2| <= 2 就能推出科貝四分之一定理（每個 S 像都覆蓋一個半徑 1/4 的圓盤），再多做一點便得到增長與畸變定理。比貝爾巴赫在同一口氣中也猜測這個模式繼續下去——對所有 n 都有 |a_n| <= n——這成了比貝爾巴赫猜想，懸而未決達 69 年。所以 n = 2 的情形是 1916 年的定理；一般陳述等到 1985 年德布朗熱才解決。把這個區別記清楚：|a_2| <= 2 是初等的，|a_n| <= n 是深刻的。
檢驗科貝函數 k(z) = z/(1 - z)^2。展開得 k(z) = z + 2 z^2 + 3 z^3 + ...，故 a_2 恰為 2。這是極值情形：S 中沒有函數能有比此更大的 |a_2|，而任何達到 2 的都是科貝的旋轉 e^(-i theta) k(e^(i theta) z)。
科貝函數以 a_2 = 2 飽和界 |a_2| <= 2。
界 |a_2| <= 2（1916）是定理；一般的 |a_n| <= n 在 1985 年德布朗熱證明之前只是猜想。別把 n = 2 的情形當作已解決整個猜想來引用。