比貝爾巴赫猜想（Bieberbach conjecture）
/ BEE-ber-bahkh /
二十世紀複分析中最著名的問題之一，由單一個觀察生長而出。英雄式的例子科貝函數，有著可疑地乾淨的係數 a_n = n。比貝爾巴赫於 1916 年證明 a_2 絕不能勝過 2，並大聲地猜想同樣的天花板是否對每個係數都成立：會不會沒有任何正規化單葉函數的某個係數大過它的指標？這個猜測——陳述簡單、證明卻刁鑽萬分——成了比貝爾巴赫猜想。
精確地說，猜想斷言對 S 類中每個 f，f(z) = z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + ...，係數對所有 n >= 2 遵守 |a_n| <= n，且等號（對任一 n）僅對科貝函數的旋轉成立。這是一次關於每個係數的陳述，那正是它如此頑強的原因。數學家數十年來一點點啃食：|a_3| <= 3（洛伊納，1923，用他新的微分方程）、|a_4| <= 4（加拉貝迪安與席弗，1955），接著 |a_5| 與 |a_6|，加上廣泛的漸近與平均結果（李特爾伍德、羅伯遜與米林猜想）把它圍困住卻未能收尾。
猜想懸而未決 69 年，終於在 1985 年由 Louis de Branges 證明，所以它現在是德布朗熱定理；證明取道米林更強的猜想與洛伊納微分方程。這是一個乾淨的問題如何驅動深刻機械之發明的典範故事。關鍵的誠實：這個界是對 S 類的——正規化、單葉、在圓盤上。去掉單葉性它立刻失效；對僅僅有界的全純函數，係數可以大得多。奇蹟在於單單一對一就迫出科貝的天花板。
猜想在每個 n 都緊：科貝函數 k(z) = z + 2 z^2 + 3 z^3 + 4 z^4 + ... 對所有 n 都有 a_n = n，故沒有 S 類函數能超越它。比貝爾巴赫自己的 |a_2| <= 2 之外的第一個困難情形是 |a_3| <= 3，洛伊納於 1923 年用洛伊納鏈方法證明。
1916 年猜想，1985 年完全證明（德布朗熱）；科貝是每個係數的等號情形。
這個界本質上依賴單葉性——對一般有界全純函數它是錯的。而且它已不再是猜想：自 1985 年起它是定理（德布朗熱），所以「比貝爾巴赫猜想」如今指一個已解決的結果。