面積定理（area theorem）
這裡有一條被化成尖銳不等式的常識：一個區域的面積不可能是負的。這個無害的觀察，巧妙地用到單葉映射的像上，便成為整門理論的第一個真正引擎。面積定理藉要求某個面積算出來非負，把單葉函數的係數壓緊，並由此滾出 S 類那些著名的界。
自然的場景是 Sigma 類：那些 g(w) = w + b_0 + b_1/w + b_2/w^2 + ...、在單位圓盤外部 |w| > 1 上單葉（在無窮遠處有一個簡單極點）的函數。這樣的 g 把外部映到某緊集的補集，而被遺漏的緊集有一個面積。用圍道積分計算那個面積並堅持它至少為零，便給出格隆沃爾的面積定理：對 n >= 1 求和的 n |b_n|^2 至多為 1。換言之，尾部係數不可能同時都很大；它們的加權能量被單一個數 1 封頂。等號僅在 g 映到一條直線狹縫的補集時成立。
為何重要：面積定理是 S 類第二係數界 |a_2| <= 2 由之生長的種子（把它用到 S 類函數的平方根變換上），而那個界又驅動科貝四分之一定理與畸變定理。所以一條關於面積非負的一行事實，最終控制了單葉函數能長多快。誠實的警告：定理是對外部類 Sigma 陳述的；把它轉移到圓盤類 S 需要一個巧妙的代換，而非直接套讀。
對 Sigma 中的 g，被遺漏集的面積是 pi(1 - sum n |b_n|^2)。既然面積非負，sum n |b_n|^2 <= 1，故尤其 |b_1| <= 1。極值的 g(w) = w + 1/w 恰好遺漏實軸上的狹縫 [-2, 2]，一條零面積的線段，那裡 sum n|b_n|^2 = 1。
被遺漏的區域有非負面積，這封頂了 Sigma 中映射係數的加權和。
封頂的是加權和 sum n|b_n|^2，而非各個 |b_n| 個別；單一個係數接近 1 就迫使其餘全趨向零。這是整體的能量預算，而非個別的界。