單葉函數（univalent / schlicht function）
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想像把一個印章壓在紙上：好的印章會把圖案的每一部分印到不同的位置，絕不把圖形折疊到自己之上。單葉函數對某區域上的全純映射就是同樣的想法：它既全純又一對一，於是定義域中兩個不同的點絕不會落到同一個像點。這個映射可以拉伸、旋轉、彎曲區域，但絕不讓它與自己重疊。這是最乾淨、最具幾何味道的一類複映射，整門幾何函數論都環繞它而建立。
精確地說，一個在區域 D 上全純的函數 f 在那裡是單葉的，若 f(z_1) = f(z_2) 就迫使 z_1 = z_2。schlicht 是原始的德文用詞，意思是「單純」或「平整」，亦即「沒有折疊」。有一個關鍵事實使這個概念用起來很愉快：對全純函數而言，整體一對一已經蘊含 f'(z) 處處不為零（f' 的零點會造成局部的折疊、一個多對一的捏點），而單葉的 f 在其像上有全純反函數。所以單葉映射自動是把 D 共形映射到區域 f(D) 上——角度與微小形狀處處被保持。
務必分清兩個層次。在一點 z_0 附近的局部單葉只需 f'(z_0) != 0，由反函數定理保證；這很容易。在整個 D 上的整體單葉則強得多，且確實難以驗證——f'(z) 處處不為零並不保證它成立。標準的例子：f(z) = e^z 的 f'(z) = e^z 從不為零，但 e^z 在整個平面上並不單葉，因為它有週期（e^(z + 2 pi i) = e^z）。偵測並界定整體單葉，正是面積定理、S 類以及如 Nehari 的施瓦茨導數判別法的用武之地。
在單位圓盤 |z| < 1 上，映射 f(z) = z/(1 - z) 是單葉的：它是莫比烏斯變換，故一對一，並把圓盤共形地映到半平面 Re w > -1/2。相對地，f(z) = z^2 在圓盤的上半部上是單葉的，但在整個圓盤上並不單葉，因為 z 與 -z 共用同一個像。
莫比烏斯映射是單葉的；z^2 只在遠離 0 處局部單葉，整體上一對一失敗。
f'(z) 處處不為零只給出局部單葉，絕非整體。週期性的 e^z 是教科書式的提醒：不消失的導數對一對一是必要的，但遠遠不夠。