全純反函數定理（the holomorphic inverse function theorem）

若一個解析函數在某點導數不為零，你能否在附近把它倒回來——對 z 解出 f(z) = w，既光滑又唯一？能，而且漂亮地：你得到的反函數本身也是解析的。全純反函數定理說：單單一個不為零的導數，就保證了一個局部的雙邊反函數，它和原函數一樣好。沒有光滑性的損失，沒有意外。

敘述：若 f 在 z_0 附近解析且 f'(z_0) 不為零，則存在 z_0 的一個鄰域，f 在其上一對一（單射），其像是 w_0 = f(z_0) 的一個開鄰域，而局部反映射 g = f^(-1) 在那裡解析。此外，反函數的導數遵守熟悉的法則 g'(w_0) = 1 / f'(z_0)，更一般地 g'(w) = 1 / f'(g(w))。f 在局部單射的原因是 m = 1 的局部映射定理：當 f'(z_0) 不為零時，f 在局部看起來像一個共形的拉伸加旋轉，那是一對一的。反函數是解析的（不只是連續）這件事，才是真正屬於複數的紅利：一旦你知道反函數在實的意義下可微，連鎖律便逼它滿足柯西-黎曼方程，故它是解析的。

這是複分析中建構反函數的局部基石——局部對數（在 e^z 的導數 e^z 從不為零之處反演它）、局部 n 次方根、共形映射的局部反函數。正是它使 f 在每個正則點都是局部雙全純。兩個誠實的告誡。其一，它純粹是局部的：f'(z_0) 不為零只在某個小鄰域內給出單射性，單憑它絕不給出整體單射性（e^z 處處導數不為零卻遠非一對一，因為它有 2 pi i 的週期）。其二，逆命題需謹慎：解析的單射函數確實有不為零的導數，但日常的反函數定理是單方向的「導數不為零蘊含局部反函數」。