全純局部反函數（the holomorphic local inverse）
當一個解析函數可以在某點附近被倒回來時，那個把它倒回來的函數並不只是某塊連續的補丁——它本身就是一個解析函數。全純局部反函數正是那個倒回映射：定義在 w_0 = f(z_0) 鄰域上的函數 g，滿足 g(f(z)) = z 與 f(g(w)) = w，並繼承了複數世界的全部光滑性。
具體地說，在 f 解析且 f'(z_0) 不為零的點 z_0 處，反函數定理遞給你 w_0 的一個小鄰域 V 與一個映射 g : V 到 z_0 的某鄰域，對 V 中所有 w 滿足 f(g(w)) = w。這個 g 是解析的，且 g'(w) = 1 / f'(g(w))。你甚至不必顯式反演任何公式就能讀出它的泰勒係數：拉格朗日反演技巧把 g 在 w_0 附近的係數用 f 在 z_0 處的導數表出。一種有用的方式來想像 g：它是顯然的冪級數反函數的解析延拓，只要你停留在夠近、使 f 保持一對一之處便有效。對數的分支與分數冪的分支，正是 e^z 與冪映射的這種局部反函數。
這在哪裡重要：每當你想解析地對 z 解出 f(z) = w——定義反三角函數、由反函數建構共形映射、或跑隱函數論證時——全純局部反函數就是你倚靠的嚴格物件。誠實的告誡追隨反函數定理。反函數只在局部存在，在一個夠小、使 f 單射的鄰域上；試圖把它繞臨界點（f' = 0 處）或繞分支點延拓出去，便逼出多值性，這正是對數與方根如何取得它們的分支與支割線。故「那個」局部反函數其實是一個選定的分支，在一個選定的鄰域上有效。
在 z_0 = 1 處（導數 2z = 2 不為零）反演 w = z^2，得到全純局部反函數 g(w) = sqrt(w)，取滿足 sqrt(1) = 1 的分支；它滿足 g'(w) = 1 / (2 g(w)) = 1 / (2 sqrt(w))，在 w_0 = 1 的一個避開 0 處分支點的鄰域內有效。
局部反函數是定義在 f 保持單射的鄰域上的一個解析分支。
它是選定鄰域上一個選定的分支，而非整體反函數。試圖把它繞臨界點或分支點搬運，便逼出多值性——這正是 log 與分數冪之支割線的由來。