畸變定理（distortion theorem）

共形映射以局部因子 |f'(z)| 放大每一點的鄰域——z 附近的小圓盤變成被放大那麼多的小圓盤。所以對正規化單葉映射的一個自然問題是：這個放大在整個圓盤上能有多不均勻？一個地方能否被拉伸得比另一個地方多一千倍？畸變定理封頂了這種差距：在每個半徑上，放大率 |f'(z)| 被夾在一個顯式的下限與上限之間。

精確地說，對 S 類中的 f 與 |z| = r < 1，畸變定理陳述 (1 - r)/(1 + r)^3 <= |f'(z)| <= (1 + r)/(1 - r)^3。「畸變」之名正指這個局部放大因子 |f'|，即 f 在 z 附近扭曲長度的量。證明是一段乾淨的機械：把第二係數界 |a_2| <= 2 不是用到 f 本身，而是用到莫比烏斯移植的映射 g(w) = f((z + w)/(1 + z-bar w)) 重新正規化進 S 後，讀出對 f''(z)/f'(z) 的界，再積分。兩個界都尖銳，等號同樣由科貝函數的旋轉給出。

沿半徑對畸變界積分便得增長定理，所以在這一對中畸變更為根本。實務上，畸變定理保證一個正規化共形映射不會出現任意細或任意胖的區域——這對數值共形映射的穩定性與位勢理論中的估計至關重要。一個須保持誠實的警告：與增長定理一樣，這些常數綁定於 S 正規化 f(0) = 0、f'(0) = 1；它們界定 |f'|，即導數的大小，而非其輻角（局部映射的旋轉部分不受約束）。